Как сказал А.С.Пушкин устами своего героя, нельзя «поверить алгеброй
гармонию». Впрочем, аппарату математики отказываются подчиняться многие
области естественных наук, не только искусство. Тем не менее существуют
универсальные соотношения, которым подчиняются «закон звезды и формула
цветка». Именно таким Леонардо да Винчи считал соотношение «золотого
сечения». На еще одно приложение этого универсального принципа я набрёл,
исследуя обширные кладовые знаний в Интернете и применяя их к своему
увлечению джазом и блюзом.
«Золотое сечение» — это принцип, которому подчиняются соотношение целого
и его частей в искусстве, науке, технике и природе. Созерцание человеком
пропорций «золотого сечения» вызывает ощущение красоты и гармонии, и это
было известно еще строителям египетских пирамид. Считается, что само это
понятие ввел в обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI
в.до н.э.), который, как считается, в свою очередь это знание получил от
египетских жрецов. Как бы там ни было, древние греки хорошо усвоили
пропорции «золотого сечения» и исправно применяли специальные
измерительные инструменты, изготовляя шедевры скульптурного искусства,
на которое были великие мастера.
При раскопках афинского Парфенона были обнаружены специальные
измерительные циркули, в которых заложены пропорции «золотого» деления.
Вот так они выглядели:
Правда, в Элладе это соотношение так еще не
называлось, — термин «Золотое сечение» дал этому соотношению великий
Леонардо да Винчи, гений эпохи Возрождения, рисунок которого, известный
широкому кругу читателей, как раз и посвящен пропорциям «золотого
сечения» в теле человека.
В самом простом виде это соотношение можно показать на геометрическом
примере деления отрезка прямой. Золотое сечение – это такое деление
отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к
большей части, как сама большая часть относится к меньшей: АВ:АС=АС:СВ
Если принять длину всего отрезка за 1, то отрезки АС и СВ выразятся
бесконечной иррациональной дробью АС= 0,618…. и СВ= 0,382…. Эти
коэффициенты называются коэффициентами последовательности Фибоначчи по
имени итальянского математика Леонардо Фибоначчи, жившего в Пизе с 1180
по 1240 годы. Будучи человеком любознательным и наблюдая за кроликами (
с чисто научной целью), он сочинил задачу о том, как изменяется
количество этих любвеобильных животных при их размножении.
Последовательность чисел Фибоначчи получается очень просто: первые два
числа — это 1 и 1 (папа и мама), а каждое последующее образуется
сложением двух предыдущих чисел последовательности. Получаем бесконечный
числовой ряд:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 …
Коэффициенты Фибоначчи, связанные с понятием «золотого сечения»,
получаются, если предыдущий член последовательности разделить на
последующий: попробуйте, и получится величина, колеблющаяся около
иррационального значения 0,618…, которое в прикладных науках
обозначается как число «фи». Если же делить члены через одного, то
получится второй коэффициент Фибоначчи, равный 0,382…
Попробуем применить этот принцип к соотношению тонов в так называемой «блюзовой
гамме», основываясь на работе Уинтропа Сарджента «Джаз. Генезис.
Музыкальный язык. Эстетика» (М., «Музыка»,1987 г., стр.135). Исследуя
блюзовый звукоряд, Сарджент получил следующий вывод, цитирую:
«В ходе наблюдений и расчетов возникало более определенное представление
о структуре звукоряда и общих закономерностях мелодического движения.
Этот звукоряд можно записать следующим образом:
(конец цитаты).
Итак, У.Сарджент называет этот звукоряд «блюзовым» и делит гамму от «До»
первой октавы до «До» второй октавы на два блюзовых тетрахорда: «до-фа»
и «соль-до». Далее цитирую Сарджента:
«Переменный третий тон каждого тетрахорда имеет двойственный характер.
Он может выступать соответственно как III и VII ступени обычного
мажорного звукоряда или приобретать специфическое качество, известное у
джазовых музыкантов как «блюзовое»… «Блюзовый тон» может изменяться по
высоте больше, чем на полтона. По звучанию он обычно является более
высоким, чем звук, обозначаемый нотой с бемолем, занимая положение
где-то между пониженной и натуральной ступенью…»
Зная, что каждый звук гаммы имеет определенную численную характеристику,
называемую частотой колебаний, расположим звуки блюзового звукоряда на
числовой оси частот, взятых в относительных единицах (отношение текущей
частоты звука к частоте звука «до» первой октавы). Для этого можно
воспользоваться данными, приведенными в литературе по музыкальной
акустике: Кузнецов Л.А. Акустика музыкальных инструментов. Справочник.
(М., Легпромбытиздат, 1989.,стр.57).
Приняв за исходную точку «до» первой октавы, построим, используя
равномерно темперированный строй, частотные отрезки двух блюзовых
тетрахордов:
Найдя в каждом интервале – отрезке тональный центр, соответствующий
пропорции «золотого сечения», получаем, что его значение в первом случае
примерно равно 1,2069 относительных единиц, что соответствует звуку,
расположенному между пониженной и натуральной третьей ступенью
(ми-бемоль и ми), ближе к ми-бемолю. Соответственно, во втором
тетрахорде получаем точку, делящую весь интервал в пропорции «золотого
сечения» между си-бемолем и си (значение 1,8083 отн. ед.).
Таким образом мы получаем, что так называемые «блюзовые тона»
расположены в тональном центре блюзового тетрахорда, положение которого
соответствует принципу «золотого сечения», универсальность которого в
природе, технике и изобразительном искусстве уже давно не вызывает
никаких сомнений.
Ученые, которые занимаются исследованием приложения последовательности
Фибоначчи, считают ее самым важным математическим выражением природных
явлений из всех, открытых человеком. Расположение листьев на ветке семян
подсолнечника, плетение паутины пауком, спираль урагана, молекула ДНК,
спиралевидные галактики – во всем этом можно выделить последовательность
Фибоначчи. А теперь еще к этому перечню можно добавить и положение «блюзовых
нот» в блюзовом тетрахорде, которые мы можем назвать «золотым сечением
джаза».
 Игорь
Зисер,
Казань
|
